圆锥(几何图形)

----更新时间:2022-07-06

圆锥是一种几何图形,有两种定义。解析几何定义:圆锥面和一个截它的平面(满足交线为圆)组成的空间几何图形叫圆锥。立体几何定义:以直角三角形的直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转360度而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥[1]。

定义

圆锥面和一个截它的平面(满足交线为圆)组成的空间几何图形叫圆锥。

直角三角形的直角边所在直线为旋转轴,其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

注意:圆锥不是特殊的圆柱。

组成

圆锥的高:圆锥的顶点到圆锥的底面圆心之间的最短距离叫做圆锥的高;[3]

圆锥母线:圆锥的侧面展开形成的扇形的半径、底面圆周上任意一点到顶点的距离。

圆锥的侧面积:将圆锥的侧面沿母线展开,是一个扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,而扇形的半径等于圆锥的母线的长. 圆锥的侧面积就是弧长为圆锥底面的周长×母线/2;没展开时是一个曲面。

圆锥有一个底面、一个侧面、一个顶点、一条高、无数条母线,且底面展开图为一圆形,侧面展开图是扇形。

测量

(l:母线长,r:底面半径)

底面周长

(r:底面半径,:侧面展开图圆心角弧度,l:母线长)

表面积

一个圆锥表面的面积叫做这个圆锥的表面积.

圆锥的表面积由侧面积底面积两部分组成。全面积(S)=S侧+S底[4]

其中,S侧=(r:底面半径,l:圆锥母线,:侧面展开图圆心角弧度)

体积

一个圆锥所占空间的大小,叫做这个圆锥的体积。

一个圆锥的体积等于与它等底等高的圆柱的体积的1/3。

根据圆柱体积公式V=Sh(V=πr^2h),得出圆锥体积公式:,其中S是圆柱的底面积,h是圆柱的高,r是圆柱的底面半径。

【证明】

把圆锥沿高分成k份,每份高,

第 n份半径:

第 n份底面积:

第 n份体积:

总体积:

∴总体积:

∵ 当k越来越大,总体积越接近于圆锥体积,越接近于0

∵ V圆柱

∴ V圆锥是与它等底等高的V圆柱体积的

绘制方法

展开图

圆锥体展开图由一个扇形(圆锥的侧面)和一个圆(圆锥的底面)组成。(如下图展开图)在绘制指定圆锥的展开图时,一般知道a(母线长)和d(底面直径)

∵弧AB=⊙O的周长

∴弧AB=πd

∵弧AB=2πa(∠1/360°)

∴2πa(∠1/360°)=πd

∴2a(∠1/360°)=d

将a,d带入2a(∠1/360°)=d得到∠1的值。这样绘制展开图的所有所需数据都求出来了。根据数据即可画出圆锥的展开图。

母线长等于底面圆直径的圆锥,展开的扇形就是半圆。所有圆锥展开的扇形角度等于(底面直径÷母线)×180度。

三视图

圆锥三视图是观测者从三个不同位置观察而画出的图形。

其主视图和侧视图均为等腰三角形,俯视图是一个圆和圆心。

应用

生活中沙堆、漏斗、帽子、陀螺、斗笠、铅笔头、钻头、铅锤等都可以近似地看作圆锥。圆锥在日常生活中也是不可或缺的。