重力常数

----更新时间:2022-07-05

重力常数又称万有引力常数,即万有引力定律中表示引力与两物体质量、距离关系公式中的系数。万有引力常量是自然界中少数几个最重要的物理常量之一。

简介

人类对引力的认识始于对行星运动的观测。德国天文学家开普勒(Johannes Kepler)根据丹麦天文学家第谷(Tycho Brahe)的大量翔实的观测资料总结出行星运动三大定律,完美地描述了行星绕太阳运行的运动规律,却没有指出行星沿椭圆轨道运动的原因。大约半个世纪以后,牛顿(IsaacNewton)在此基础上提出了万有引力定律。此定律不仅对开普勒三定律提供了动力学的解释,而且指出维系行星沿椭圆轨道运动的力和地球上使苹果落地的力在本质上是相同的。这种力无处不在,小到基本粒子大到宇宙天体,被称之为“万有引力”。

1687年,牛顿在《自然哲学的数学原理》(Mathe-matical Principles of Natural Philosophy)一书中系统地介绍了万有引力定律,其内容如下:宇宙间任何两个质点都存在相互吸引力,其大小与两质点的质量m1,m2乘积成正比,与它们之间距离r的平方成反比,用数学表示为

式中的比例系数G称为万有引力常数(Universal Gravitational Constant)。它是一个普适常数,不受物体的大小、形状、组成等因素的影响。引力常数G是一个与理论物理、天体物理和地球物理等密切相关的物理学基本常数。它与天体运动、天体演化和结构模型等有着密切的关系[2]。在粒子与场论、宇宙学以及引力物理的现代理论研究中,G都起着非常重要的作用。譬如描述自然界基本常数体系的Planck长度、时间以及质量就是由三个基本物理量Planck常数ħ、万有引力常数G、以及光速c的不同组合给出。

自从牛顿的《自然哲学的数学原理》发表300多年以来,万有引力的理论与实验研究一直是科学界的热点之一。理论工作者致力于研究引力的本质、起源及其在物理学中所起的作用,试图统一四种基本相互作用。实验工作者则对该定律提出一系列的问题,例如:G的精确值是多大?它是一个常数还是会随时间和地点而变化?引力是严格地与距离的平方成反比吗?它与两物体的组成相关吗?引力与物体的运动状态有关吗?等等。尽管把G引入日益增多的物理学和天体物理学讨论中得到的结果会各不相同,但对G进行深入的研究都有助于对引力相互作用性质的认识。曾任剑桥大学Cavendish实验室主任的Cook教授甚至提出G能否如同国际单位中的光速一样被当作测量系统中的基本常数的问题。他还提出若有可能将其定义为基本常数,那么对G的测量精度必须有更高的要求[1]。

历史

关于引力研究的早期实验都是采用地球物理方法,其目的停留在为了测量地球的平均密度上,但是这种方法所固有的与地质特性相关的误差使其不可能给出较高的精度。1798年,Cavendish在当时的英国皇家协会会刊(哲学)(Philos Trans R Soc London)上发表了题为“地球密度的实验确定”(Experiments to Determine the Density of the Earth)的著名文章。他在文章中介绍了如何使用Michell制作的扭秤(Torsion Balance)研究实验室内两物体之间的万有引力,并首次精确地给出地球的密度是水的密度的5。48倍这一结论,后人由此给出该实验对应的G值为。因此,我们常说Cavendish是历史上第一个“称量”了地球质量的人,他也因此成为历史上第一个测量万有引力常数G的科学家。

继Cavendish之后,具有代表性的测G工作当属1895年Boys的实验,其原理与Cavendish扭秤方法完全相同。直到1942年,他们的结果才被Heyl采用扭秤周期法测量的结果所取代[25,26]。Heyl提出的采用扭秤周期法测量万有引力常数G的最大优点是将对弱力的测量转化为对时间的测量。由于对时间的精确测量比较容易实现,因此Heyl给出的G值具有较高的精度,可以说他的测量结果的问世标志着G绝对值的精确测量的开始。国际上至今仍有几个小组在采用该方法进行G的测量。

20世纪后半叶,与科学史上其他时期相比,人类进行了更多的测量引力常数的研究工作。科学家们不仅关注引力常数的绝对值,而且也关注引力常数随时空的变化以及与引力有关的一些反常现象。20世纪80年代以前的这些实验研究工作已有很多学者做了有益的总结[27~31]。

测量困难

在过去的200多年中,人们在万有引力常数G的测量过程中付出了极大的努力,但引力常数G测量精度的提高却非常缓慢,几乎是每一个世纪才提高一个数量级。这一领域的研究进展之所以如此缓慢,其原因是众所周知的。首先,万有引力是自然界四种基本相互作用力中最微弱的。例如,一个电子与一个质子之间的电磁相互作用约是它们之间的万有引力相互作用的1039倍。微弱的引力信号极易被其他干扰信号所湮没,因此在实验中必须克服电磁力、地面振动、温度变化等因素对实验的干扰,测量必须在一些采取特别措施的实验室进行。其次,万有引力是不可屏蔽的,因此检验质量必然会受到除了实验专门设置的吸引质量以外的其他物体的引力干扰,比如实验仪器、实验背景质量、实验人员等。另外,移动的质量体,如实验室附近驶过的车辆以及行人都会给实验带来引力扰动。即使在十分偏僻安静的实验室,云层气压、雨雪等天气的变化等都会干扰测量结果。第三,到目前为止,还没发现G与任何其他基本常数之间存在确定的联系,因此不可能用其他基本常数来间接确定G值,只能根据牛顿万有引力定律。第四,实验精度受到了测量仪器精度的限制。目前G的测量精度基本上代表了现有机械加工与测量的水平。最后,用于探测微弱引力的工具,如各种形式的扭秤和天平等,存在各种寄生耦合效应和系统误差,最终限制了测量精度的提高。

测量方法

概述

万有引力常数G的测量大致可分为地球物理学方法测量、空间测量、实验室内测量等三大类。地球物理学方法测量G是利用大的自然物体(如形状规则的山体、矿井和湖泊等)作为吸引质量[12,13]。该方法的主要优点是作为吸引质量的自然物体很大,引力效应明显。但由于吸引质量的尺度、密度及其分布等都不能精确测量,所以实验的精度比较低。随着航天技术的发展,人们期望在太空开展测G实验[49~53]。空间测量方法可以避免地面实验室中遇到的两大难题:一个是地面实验环境中的附加背景引力场作用,另一个是地面振动噪声的干扰,但就目前的情况来看,空间测量G的方法面临着很多新的技术难题,仍在探索之中。实验室内测量万有引力常数G的常用工具是精密扭秤和天平。与地球物理学方法相比,精密扭秤的最大优点是将待测的检验质量与吸引质量之间的万有引力相互作用置于与地球重力场方向正交的水平面内,这样就在实验设计上极大地减少了重力及其波动的影响[54]。天平可以绕刀口在垂直面内上下倾斜以探测垂直方向的引力作用[55~57]。常用的测量方法有:直接倾斜法、补偿法、共振法、周期法和自由落体法等[1]。

扭秤周期法

一个自由悬挂的扭秤,其运动方程可以写成谐振子的形式:

(2)

其中I为扭秤的转动惯量,γ为阻尼系数,k为扭丝的扭转弹性系数。扭秤的本征频率为

(3)

如果在扭秤附近放置大的吸引质量,如图(a)所示,当吸引质量Ma,Mb的连线与扭秤平衡位置平行时(近程配置),吸引质量对检验质量的吸引力为扭秤系统提供附加的正回复力矩,使得总回复力矩增大,其振动频率变为

(4)

其中下标n表示近程配置,Kn为悬丝在此配置下的弹性系数,Cgn为由吸引质量与检验质量的质量分布决定的引力耦合常数,I为扭秤的转动惯量。如图2(b)所示,当吸引质量Ma,Mb的连线与扭秤平衡位置垂直时(远程配置),吸引质量对检验质量的吸引力为扭秤系统提供附加的负回复力矩,使得总回复力矩减小,其振动频率变为

(5)

下标f表示远程配置。通过测量两种配置下扭秤的周期而确定G值:

(6)

其中,为扭丝的滞弹性效应[58]。

扭秤周期法测G是1931年由Heyl提出[25],并和他的同事发展起来的。1942年Heyl等人[26]采用扭秤周期法测量的G值被国际科技数据委员会作为CODATA-73中G值的首次推荐值。在随后CODATA-86调整时,Cohen和Taylor[33]采用扭秤周期法的测量精度进一步提高,因此作为新一轮G值的推荐值。近三次CODATA收录的LANL-97,TR&D-98(TR&D-96)和HUST-99(HUST-05)都是采用扭秤周期法。

扭秤周期法是一种动态测量方法,利用了扭秤灵敏度高的优点,而且将一些较难测量的物理量(如几何量角位移θ)转化为其他相对较为容易测量的物理量(如时间),可以获得较高的测量精度。扭秤周期法中的几何参量,如转动惯量I、引力耦合常数Cg的测量并不涉及扭秤的运动,测量起来相对容易和方便。与其他利用扭秤的实验方法相比(如直接倾斜法),周期法对扭秤平衡位置的漂移不是十分敏感。扭秤周期法实际上利用了“差分”的原理,所有在近远程配置中相同(或者变化规律相同)的参量对实验结果的影响均被抵消。

当然,扭秤周期法也存在一些困难。高灵敏度扭秤的周期一般较长,因而所需测量时间也较长,从而对外界环境的稳定性提出了更高的要求。扭秤要达到一个较稳定的状态需要很长的时间,必须测量较长时间间隔内扭秤的运动状况方能给出精确的频率差。而在长时间的测量过程中,背景环境的变化(如温度)可能就会比较大,这不可避免地对实验产生影响。此外,扭秤周期法对扭丝是极其依赖的。对所选用悬丝(金属丝或石英丝)的各种特性深入的研究在扭秤周期法实验中占据着重要的地位。在我们采用扭秤周期法测G的最新实验中[46,47],对扭丝的热弹性[59,60]、非线性[61,62]、滞弹性[58]、老化等效应以及扭秤周期高精度提取方法[63~66]进行了深入的分析与研究。尤其是在实验中我们利用一根Q值为3.6×10^5的石英丝首次直接对滞弹性效应进行了测量[58],测量结果与1995年Kuroda给出的滞弹性假设(滞弹性效应对G值的修正量为1/πQ)在误差范围内吻合[67]。我们实验小组采用扭秤周期法测量的实验结果HUST-99(HUST-05)被近三次CODATA收录。我们最新的测G实验[46,47]给出的G值为,相对不确定度达到26ppm。该结果是目前国际上采用扭秤周期法测G给出的精度最高的实验结果,也是目前国际上相对精度优于50ppm的六个实验结果之一。

扭秤角加速度补偿法

扭秤角加速度补偿法测量万有引力常数G的基本原理如图3所示。让作为检验质量的扭秤处在一个球状吸引质量的多极引力场中,其角加速度可表示为

(7)

其中lmq为扭秤的多极矩,lmQ为吸引质量球的多极矩,I为扭秤的转动惯量,Φ为吸引质量与扭秤之间相对位置的相位差。在公式(7)中,由于高阶项衰减很快,角加速度效应最大的项为

(8)

扭秤的多极矩与转动惯量之间满足如下关系:

(9)

其中w,t为扭秤的宽度和厚度。当扭秤是一个理想的上下对称的薄二维平板时,(9)式可近似表示为

(10)

因此:

(11)

若将扭秤与吸引质量分别置于两个独立的转台上旋转起来,让扭秤获得一个惯性力矩Iβ(β为扭秤转台转动的加速度)和引力力矩τ=GCg,此时扭秤的运动方程变为

(12)

其中ωs,ωp分别为吸引质量回转台和扭秤回转台的角速度。通过调整两个转台的转动速度,使扭秤受到的惯性力矩补偿吸引质量对扭秤产生的引力力矩,让扭秤始终处于其平衡位置不动,此时有Iβ=GCg。通过记录扭秤转动的加速度,并计算扭秤的转动惯量I、以及与吸引质量之间的引力耦合系数Cg,就可以给出G值。

1969年,Rose等人[68]提出扭秤角加速度补偿法测G实验方法,并采用该方法进行了初步实验。考虑各种误差因素以后,他们得到的结果为。他们同时指出一系列的改进措施,并声称该方法有可能将实验精度进一步提高两个数量级。由于该方法中系统的复杂性,在此后的相当长时间内国际上没有人继续采用该方法进行测G实验。直到20世纪末,美国华盛顿大学的Gundlach等人[69,70]改进了扭秤角加速度补偿法,提出将吸引质量放置到另一个转台上也转动起来,并实现两个转台的高精度跟踪,这样做的优点是能够有效减小实验环境背景引力场的影响。通过对实验系统的进一步优化设计,2000年Gundlach和Merkowitz给出的实验结果为[42](Uwash-00),相对不确定度优于14ppm,该结果是目前国际上报道的最高精度的测G结果。扭秤角加速度补偿法中通过采用一系列的优化配置(主要是对称性),可以极大降低对扭秤几何尺寸和密度均匀性的测量要求。与扭秤周期法相比,该方法中的悬丝相对于检验质量不扭转,因此实验结果对悬丝的依赖程度有所降低,尤其是周期法中不可避免的滞弹性效应得到很大程度的抑制[58]。实验的测量量是角加速度α22,由其他原因引起的恒定角位移或角速度对结果就不会有影响,特别是悬丝的蠕变,其影响可以忽略。由于引力力矩非常小,由此引起的角加速度也非常小,这意味着角速度的变化非常缓慢,因此测量精度可以很高。实验不需要长时间的测量便可获得一个好的测量结果,测量时间要比周期法短很多。实验中由于吸引质量也是在旋转的,这样背景引力场就自然地被平均掉,对实验结果的影响很小。

扭秤角加速度补偿法的缺点是实验系统非常复杂,需要配置高精度的转台,通过对系统的闭环控制实现扭秤相对转台保持相对静止。实验中,回转台的转速稳定性需要达到10^-7rad/s量级,两回转台的角加速度差稳定性需要达到10^-12rad/s2量级,这对回转台自身提出了很高的要求。同时,外界环境的干扰,如温度、压力、磁场和振动等等,仍然都会对实验结果有影响。

扭秤直接倾斜/补偿法

扭秤倾斜法测G实验的一般装置如图(a)所示。在扭秤的扭臂两端悬挂着质量均为m的检验质量,扭臂用悬丝悬挂。在距离检验质量r的水平位置上,放置两个较大的吸引质量M。由于吸引质量的引力作用,扭秤的平衡位置将产生一个θ的偏转角,此时扭丝的回复力矩与引力矩平衡,通过对θ角以及扭秤系统有关参量的测量便可计算出引力常数G:

(13)

其中I是扭秤的转动惯量,T是扭秤的摆动周期,b是扭秤的半臂长。在直接倾斜法实验中,要求对角进行绝对测量,由θ角的误差引起的G的测量误差为

(14)

吸引质量和检验质量中心的距离r引起的G值的测量误差为

(15)

r的值是通过角的测量得到的,因此θ角的误差就传递到了r上,而且还放大了2倍。θ角本身就很小(mrad量级),而且不可能测得很准,θ就会偏大,所以带来的误差很大。如果想增大θ角,唯有增大吸引质量,但是使用大的吸引质量又会影响整个装置的稳定性,如使装置倾斜,带来其他的误差。此外,引力力矩的测量是通过测量与之平衡的扭丝的扭转力矩来实现的,因此扭转力矩的稳定性相当重要。扭转力矩对温度变化很敏感,而且扭丝材料本身的缺陷也会使扭丝运动不规则,还有扭丝本身的非线性、热弹性和老化等效应也会产生误差。除扭丝自身因素影响之外,周围环境物体的变化都会造成其平衡位置的漂移。

静电补偿法的原理与直接倾斜法类似,所不同的是使用了额外的静电力矩补偿了引力力矩,使扭丝保持原来的静止状态。将直接倾斜法中角位移的直接测量转换为电信号的测量,测量就相对容易一些。由于扭丝只起到悬挂检验质量的作用,并没有参与测量,所以扭丝的非线性等因素不会影响到实验结果。由于静电补偿法仍然是静态的方法,即使引力力矩被静电力矩平衡了,受外界的干扰扭秤也不可能完全静止。此外,理想平行板电容的计算很简单,而实际电容的计算则相当复杂,特别是边界效应的影响。

继Cavendish之后,很多实验物理学家均采用扭秤倾斜法进行G的测量。新西兰国家标准实验室的Fitzgerald和Armstrong[71]自1995年开始使用静电补偿法来测G,实验原理如图(b)所示。通过吸引质量产生的引力力矩和伺服反馈电压产生的力矩平衡,他们1995年公布的实验结果为。1999年,他们公布的改进实验结果为[72](MSL-99)。此后的进一步改进实验给出[45](MSL-03),相对不确定度达到40ppm。DeBoer[9]在1987年尝试着用水银的浮力来支撑检验质量,并且利用静电补偿平衡引力矩,得到的G值为。1995年,Michaelis等人[73]用原理基本相同的方法重新测量了万有引力常数,得到的结果为(PTB-95)。该结果比后来其他实验结果均偏大很多,而且在他们的后期研究中也发现该实验中存在无法确定的系统误差[74],因此在CODATA-02基本物理常数调整时,该结果没有被采纳。